Grafische Möglichkeiten zur Darstellung von Wechselstrom

Grundlegende Fakten der Trigonometrie

Das Erlernen von AC ist sehr schwierig, wenn der Schüler die grundlegenden Informationen der Trigonometrie nicht beherrscht. Daher geben wir zu Beginn dieses Artikels die grundlegenden Bestimmungen der Trigonometrie an, die möglicherweise in Zukunft benötigt werden.

Es ist bekannt, dass es in der Geometrie üblich ist, bei der Betrachtung eines rechtwinkligen Dreiecks die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite als Hypotenuse zu bezeichnen. Die im rechten Winkel benachbarten Seiten werden Beine genannt. Ein rechter Winkel beträgt 90°. So in Abb. In 1 ist die Hypotenuse die mit den Buchstaben O bezeichnete Seite, die Schenkel sind die Seiten ab und aO.

In der Abbildung ist zu erkennen, dass der rechte Winkel 90° beträgt, die anderen beiden Winkel des Dreiecks sind spitz und werden durch die Buchstaben α (Alpha) und β (Beta) gekennzeichnet.

Wenn Sie die Seiten eines Dreiecks in einem bestimmten Maßstab messen und das Verhältnis der Größe des Schenkels gegenüber dem Winkel α zum Wert der Hypotenuse nehmen, dann wird dieses Verhältnis als Sinus des Winkels α bezeichnet. Der Sinus eines Winkels wird üblicherweise als sin α bezeichnet. Daher beträgt der Sinus des Winkels im betrachteten rechtwinkligen Dreieck:

Wenn Sie das Verhältnis bilden, indem Sie den Wert des Schenkels aO neben dem spitzen Winkel α zur Hypotenuse nehmen, dann wird dieses Verhältnis als Kosinus des Winkels α bezeichnet. Der Kosinus des Winkels wird normalerweise wie folgt bezeichnet: cos α . Somit ist der Kosinus des Winkels a gleich:

Reis. 1. Rechtwinkliges Dreieck.

Wenn Sie Sinus und Cosinus des Winkels α kennen, können Sie die Größe der Beine bestimmen. Wenn wir den Wert der Hypotenuse O mit sin α multiplizieren, erhalten wir Bein ab. Durch Multiplikation der Hypotenuse mit cos α erhalten wir das Bein Oa.

Angenommen, der Winkel Alpha bleibt nicht konstant, sondern ändert sich allmählich und nimmt zu. Wenn der Winkel Null ist, ist auch sein Sinus Null, da die Fläche gegenüber dem Schenkelwinkel Null ist.

Mit zunehmendem Winkel α beginnt auch sein Sinus zuzunehmen. Der größte Sinuswert wird erhalten, wenn der Alpha-Winkel gerade wird, also 90° beträgt. In diesem Fall ist der Sinus gleich Eins. Somit kann der Sinus des Winkels den kleinsten Wert – 0 und den größten – 1 haben. Für alle Zwischenwerte des Winkels ist der Sinus ein echter Bruch.

Der Kosinus des Winkels ist am größten, wenn der Winkel Null ist. In diesem Fall ist der Kosinus gleich Eins, da der an den Winkel angrenzende Schenkel und die Hypotenuse in diesem Fall zusammenfallen und die durch sie dargestellten Segmente einander gleich sind. Wenn der Winkel 90° beträgt, ist sein Kosinus Null.

Grafische Möglichkeiten zur Darstellung von Wechselstrom

Sinusförmiger Wechselstrom oder die mit der Zeit variierende EMK kann als Sinuswelle dargestellt werden. Diese Darstellungsart wird häufig in der Elektrotechnik verwendet. Neben der Darstellung eines Wechselstroms in Form einer Sinuswelle ist auch die Darstellung eines solchen Stroms in Form von Vektoren weit verbreitet.

Ein Vektor ist eine Größe, die eine bestimmte Bedeutung und Richtung hat. Dieser Wert wird als gerades Liniensegment mit einem Pfeil am Ende dargestellt. Der Pfeil sollte die Richtung des Vektors anzeigen und das in einem bestimmten Maßstab gemessene Segment gibt die Größe des Vektors an.

Alle Phasen des sinusförmigen Wechselstroms in einer Periode können durch Vektoren dargestellt werden, die wie folgt wirken. Angenommen, der Ursprung des Vektors liegt im Mittelpunkt des Kreises und sein Ende liegt auf dem Kreis selbst. Dieser gegen den Uhrzeigersinn rotierende Vektor macht eine vollständige Umdrehung in einer Zeit, die einer Periode der Stromänderung entspricht.

Zeichnen wir von dem Punkt, der den Ursprung des Vektors definiert, also vom Mittelpunkt des Kreises O, zwei Linien: eine horizontale und die andere vertikal, wie in Abb. gezeigt.

Wenn wir für jede Position des rotierenden Vektors von seinem Ende, gekennzeichnet durch den Buchstaben A, die Senkrechten auf eine vertikale Linie senken, dann geben uns die Segmente dieser Linie vom Punkt O bis zur Basis der Senkrechten a Momentanwerte des sinusförmigen Wechselstroms, und der Vektor OA selbst zeigt in einem bestimmten Maßstab die Amplitude dieses Stroms, also seinen höchsten Wert. Die Segmente Oa entlang der vertikalen Achse werden Projektionen des Vektors OA auf der y-Achse genannt.

Reis. 2. Abbildung sinusförmiger Stromänderungen mithilfe eines Vektors.

Es ist nicht schwierig, die Gültigkeit des oben Gesagten zu überprüfen, indem man die folgende Konstruktion durchführt. In der Nähe des Kreises in der Abbildung können Sie eine Sinuswelle erhalten, die der Änderung der variablen EMK entspricht. Wenn wir in einer Periode auf der horizontalen Linie die Grade zeichnen, die die Phase der EMF-Änderung bestimmen, und in vertikaler Richtung Segmente konstruieren, die der Größe der Projektion des Vektors OA auf der vertikalen Achse entsprechen.Nachdem wir eine solche Konstruktion für alle Punkte des Kreises durchgeführt haben, entlang derer das Ende des Vektors OA gleitet, erhalten wir Abb. 3.

Die gesamte Periode der aktuellen Änderung und dementsprechend die Drehung des sie darstellenden Vektors kann nicht nur in Grad eines Kreises, sondern auch im Bogenmaß dargestellt werden.

Ein Winkel von einem Grad entspricht 1/360 eines Kreises, der durch seinen Scheitelpunkt beschrieben wird. Diesen oder jenen Winkel in Grad zu messen bedeutet herauszufinden, wie oft ein solcher Elementarwinkel im gemessenen Winkel enthalten ist.

Beim Messen von Winkeln können Sie jedoch auch Bogenmaß anstelle von Grad verwenden. In diesem Fall ist die Einheit, mit der der eine oder andere Winkel verglichen wird, der Winkel, dem der Bogen entspricht, dessen Länge dem Radius jedes Kreises entspricht, der durch den Scheitelpunkt des gemessenen Winkels beschrieben wird.

Reis. 3. Aufbau der EMF-Sinuskurve, die sich nach dem harmonischen Gesetz ändert.

Somit beträgt der Gesamtwinkel, der jedem Kreis entspricht, gemessen in Grad, 360°. Dieser Winkel, gemessen im Bogenmaß, beträgt 2 π – 6,28 Bogenmaß.

Die Position des Vektors zu einem bestimmten Zeitpunkt kann anhand der Winkelgeschwindigkeit seiner Drehung und der seit Beginn der Drehung, also seit Beginn der Periode, verstrichenen Zeit geschätzt werden. Bezeichnet man die Winkelgeschwindigkeit des Vektors mit dem Buchstaben ω (Omega) und die Zeit seit Beginn der Periode mit dem Buchstaben t, so lässt sich als Produkt der Drehwinkel des Vektors gegenüber seiner Anfangsposition bestimmen :

Der Drehwinkel des Vektors bestimmt seine Phase, die dem einen oder anderen entspricht momentaner Stromwert… Daher ermöglicht uns der Drehwinkel oder Phasenwinkel abzuschätzen, welchen Momentanwert der Strom zu dem Zeitpunkt hat, der uns interessiert. Der Phasenwinkel wird oft einfach als Phase bezeichnet.

Oben wurde gezeigt, dass der Winkel der vollständigen Drehung des Vektors, ausgedrückt im Bogenmaß, gleich 2π ist. Diese vollständige Drehung des Vektors entspricht einer Wechselstromperiode. Durch Multiplizieren der Winkelgeschwindigkeit ω mit der einer Periode entsprechenden Zeit T erhalten wir die vollständige Drehung des Wechselstromvektors, ausgedrückt im Bogenmaß;

Daher ist es nicht schwer zu bestimmen, dass die Winkelgeschwindigkeit ω gleich ist:

Wenn wir die Periode T durch das Verhältnis 1 / f ersetzen, erhalten wir:

Die Winkelgeschwindigkeit ω nach dieser mathematischen Beziehung wird oft als Kreisfrequenz bezeichnet.

Vektordiagramme

Wenn in einem Wechselstromkreis nicht ein Strom wirkt, sondern zwei oder mehr, dann lässt sich deren gegenseitige Beziehung bequem grafisch darstellen. Die grafische Darstellung elektrischer Größen (Strom, EMK und Spannung) kann auf zwei Arten erfolgen. Eine dieser Methoden besteht darin, Sinuskurven darzustellen, die alle Phasen der Änderung der elektrischen Größe während einer Periode zeigen. In einer solchen Abbildung sieht man zunächst einmal, wie das Verhältnis der Maximalwerte der untersuchten Ströme, EMK, ist. und Stress.

In Abb. In Abb. 4 zeigt zwei Sinuskurven, die die Änderungen in zwei verschiedenen Wechselströmen charakterisieren. Diese Ströme haben die gleiche Periode und sind in Phase, aber ihre Maximalwerte sind unterschiedlich.

Reis. 4. Sinusförmige Ströme in Phase.

Strom I1 hat eine höhere Amplitude als Strom I2. Ströme oder Spannungen sind jedoch möglicherweise nicht immer phasengleich. Sehr oft kommt es vor, dass ihre Phasen unterschiedlich sind. In diesem Fall spricht man von phasenverschobenen Phasen. In Abb. 5 zeigt Sinuskurven zweier phasenverschobener Ströme.

Reis. 5. Sinuskurven von um 90° phasenverschobenen Strömen.

Der Phasenwinkel zwischen ihnen beträgt 90°, was einem Viertel der Periode entspricht.Die Abbildung zeigt, dass der Maximalwert des Stroms I2 um ein Viertel der Periode früher auftritt als der Maximalwert des Stroms I1. Der Strom I2 eilt der Phase I1 um eine Viertelperiode, also um 90°, voraus. Der gleiche Zusammenhang zwischen Strömen kann mithilfe von Vektoren dargestellt werden.

In Abb. 6 zeigt zwei Vektoren mit gleichen Strömen. Wenn wir uns daran erinnern, dass die Drehrichtung der Vektoren entgegen dem Uhrzeigersinn angenommen wird, dann wird es ganz offensichtlich, dass der aktuelle Vektor I2, der sich in die konventionelle Richtung dreht, dem aktuellen Vektor I1 vorausgeht. Der Strom I2 eilt dem Strom I1 voraus. Die gleiche Abbildung zeigt, dass der Steigungswinkel 90° beträgt. Dieser Winkel ist der Phasenwinkel zwischen I1 und I2. Der Phasenwinkel wird mit dem Buchstaben φ (phi) bezeichnet. Diese Art der Darstellung elektrischer Größen mithilfe von Vektoren wird als Vektordiagramm bezeichnet.

Reis. 6. Vektordiagramm der Ströme, um 90° phasenverschoben.

Beim Zeichnen von Vektordiagrammen ist es überhaupt nicht notwendig, Kreise darzustellen, entlang derer die Enden der Vektoren bei ihrer imaginären Drehung gleiten.

Bei Vektordiagrammen darf nicht vergessen werden, dass in einem Diagramm nur elektrische Größen mit gleicher Frequenz, also gleicher Drehwinkelgeschwindigkeit der Vektoren, dargestellt werden können.