Eine symbolische Methode zur Berechnung von Wechselstromkreisen

Eine symbolische Methode für Operationen mit Vektorgrößen basiert auf einer sehr einfachen Idee: Jeder Vektor wird in zwei Komponenten zerlegt: eine horizontale Komponente, die entlang der Abszisse verläuft, und eine zweite vertikale Komponente, die entlang der Ordinate verläuft. In diesem Fall folgen alle horizontalen Komponenten einer Geraden und können durch einfache algebraische Addition addiert werden, und die vertikalen Komponenten werden auf die gleiche Weise addiert.

Dieser Ansatz führt im Allgemeinen zu zwei resultierenden Komponenten, einer horizontalen und einer vertikalen, die immer im gleichen 90°-Winkel nebeneinander liegen.

Diese Komponenten können zur Ergebnisfindung, also zur geometrischen Addition, verwendet werden. Die rechtwinkligen Komponenten stellen die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks dar und ihre geometrische Summe stellt die Hypotenuse dar.

Man kann auch sagen, dass die geometrische Summe numerisch gleich der Diagonale eines Parallelogramms ist, das sowohl aus den Komponenten als auch aus seinen Seiten aufgebaut ist... Wenn die horizontale Komponente mit AG und die vertikale Komponente mit AB bezeichnet wird, dann ist die geometrische Summe ( 1)

Die geometrische Summe von rechtwinkligen Dreiecken zu finden ist viel einfacher als die von schrägen Dreiecken. Es ist leicht zu erkennen, dass (2)

wird zu (1), wenn der Winkel zwischen den Komponenten 90° beträgt. Da cos 90 = 0, verschwindet der letzte Term im Wurzelausdruck (2), wodurch der Ausdruck stark vereinfacht wird. Beachten Sie, dass vor dem Wort „Summe“ eines von drei Wörtern hinzugefügt werden muss: „arithmetisch“, „algebraisch“, „geometrisch“.

Feige. 1.

Das Wort „Betrag“ ohne Angabe führt zu Unsicherheiten und teilweise zu groben Fehlern.

Denken Sie daran, dass der resultierende Vektor gleich der arithmetischen Summe der Vektoren ist, wenn alle Vektoren entlang einer geraden Linie (oder parallel zueinander) in die gleiche Richtung verlaufen. Darüber hinaus haben alle Vektoren ein Pluszeichen (Abb. 1, a).

Wenn die Vektoren entlang einer Geraden verlaufen, aber in entgegengesetzte Richtungen zeigen, ist ihr Ergebnis gleich der algebraischen Summe der Vektoren. In diesem Fall haben einige Terme ein Pluszeichen und andere ein Minuszeichen.

Zum Beispiel im Diagramm von Abb. 1, b U6 = U4 — U5. Wir können auch sagen, dass die arithmetische Summe in Fällen verwendet wird, in denen der Winkel zwischen den Vektoren Null ist, algebraisch, wenn die Winkel 0 und 180 ° betragen. In allen anderen Fällen erfolgt die Addition vektoriell, also die geometrische Summe (Abb. 1, c).

Beispiel... Bestimmen Sie die Parameter der äquivalenten Sinuswelle für die Schaltung Abb. 2, aber symbolisch.

Antworten. Zeichnen wir die Vektoren Um1 Um2 und zerlegen sie in Komponenten. Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass jede horizontale Komponente der Vektorwert multipliziert mit dem Kosinus des Phasenwinkels ist und die vertikale Komponente der Vektorwert multipliziert mit dem Sinus des Phasenwinkels ist. Dann

Feige. 2.

Offensichtlich sind die gesamten horizontalen und vertikalen Komponenten gleich den algebraischen Summen der entsprechenden Komponenten. Dann

Die resultierenden Komponenten sind in Abb. dargestellt. 2, geb. Bestimmen Sie dazu den Wert von Um und berechnen Sie die geometrische Summe der beiden Komponenten:

Bestimmen Sie den äquivalenten Phasenwinkel ψeq. Feige. Aus Fig. 2, b ist ersichtlich, dass das Verhältnis der vertikalen zur horizontalen Komponente der Tangens des äquivalenten Phasenwinkels ist.

Wo

Die so erhaltene Sinuskurve hat eine Amplitude von 22,4 V, eine Anfangsphase von 33,5° mit der gleichen Periode wie die Komponenten. Beachten Sie, dass nur Sinuswellen derselben Frequenz hinzugefügt werden können, da beim Hinzufügen von Sinuskurven verschiedener Frequenzen die resultierende Kurve nicht mehr sinusförmig ist und alle Konzepte, die nur auf harmonische Signale anwendbar sind, in diesem Fall ungültig werden.

Lassen Sie uns noch einmal die gesamte Kette der Transformationen nachvollziehen, die bei der Durchführung verschiedener Berechnungen mit den mathematischen Beschreibungen der harmonischen Wellenformen durchgeführt werden müssen.

Zuerst werden die zeitlichen Funktionen durch Vektorbilder ersetzt, dann wird jeder Vektor in zwei zueinander senkrechte Komponenten zerlegt, dann werden die horizontalen und vertikalen Komponenten getrennt berechnet und schließlich werden die Werte des resultierenden Vektors und seine Anfangsphase bestimmt.

Diese Berechnungsmethode macht es überflüssig, Sinuskurven grafisch zu addieren (und in einigen Fällen komplexere Operationen durchzuführen, z. B. Multiplizieren, Dividieren, Wurzeln ziehen usw.) und auf Berechnungen mit den Formeln schräger Dreiecke zurückzugreifen.

Allerdings ist es ziemlich umständlich, die horizontalen und vertikalen Komponenten der Operation getrennt zu berechnen.Bei solchen Berechnungen ist es sehr praktisch, über ein solches mathematisches Gerät zu verfügen, mit dem man beide Komponenten gleichzeitig berechnen kann.

Bereits Ende des letzten Jahrhunderts wurde eine Methode entwickelt, die die gleichzeitige Berechnung von Zahlen ermöglicht, die auf zueinander senkrechten Achsen aufgetragen sind. Die Zahlen auf der horizontalen Achse wurden als reell bezeichnet, und die Zahlen auf der vertikalen Achse wurden als imaginär bezeichnet. Bei der Berechnung dieser Zahlen wird zu den reellen Zahlen ein Faktor von ± 1 und zu den imaginären Zahlen ein Faktor von ± j addiert (sprich „xi“). Man nennt Zahlen, die aus Real- und Imaginärteilen bestehen Komplex, und die mit ihrer Hilfe durchgeführte Berechnungsmethode ist symbolisch.

Lassen Sie uns den Begriff „symbolisch“ erklären. Die zu berechnenden Funktionen (in diesem Fall Harmonische) sind Originale, und die Ausdrücke, die die Originale ersetzen, sind Bilder oder Symbole.

Bei der symbolischen Methode werden alle Berechnungen nicht an den Originalen selbst, sondern an deren Symbolen (Bildern) durchgeführt, die in unserem Fall die entsprechenden komplexen Zahlen darstellen, da Operationen an Bildern viel einfacher durchzuführen sind als an den Originalen selbst.

Nachdem alle Bildvorgänge abgeschlossen sind, wird das dem resultierenden Bild entsprechende Original auf dem resultierenden Bild aufgezeichnet. Die meisten Berechnungen in Stromkreisen erfolgen nach der symbolischen Methode.