Warum komplexe Zahlen für Berechnungen in Wechselstromkreisen verwendet werden

Wie Sie wissen, werden komplexe Zahlen zur Lösung einiger typischer Probleme in der Elektrotechnik verwendet. Aber wofür werden sie verwendet und warum wird es so gemacht? Dies wollen wir im Verlauf dieses Artikels zu verstehen versuchen. Tatsache ist, dass die komplexe Methode oder die Methode der komplexen Amplituden zur Berechnung komplexer Wechselstromkreise geeignet ist. Erinnern wir uns zunächst an einige Grundlagen der Mathematik:

Wie Sie sehen, umfasst die komplexe Zahl z den Imaginärteil und den Realteil, die sich voneinander unterscheiden und im Text unterschiedlich bezeichnet werden. Die komplexe Zahl z selbst kann in algebraischer, trigonometrischer oder exponentieller Form geschrieben werden:

Historischer Hintergrund

Es wird angenommen, dass die Idee der imaginären Zahlen im Jahr 1545 begann, als der italienische Mathematiker, Ingenieur, Philosoph, Arzt und Astrologe Girolamo Cardano diese Methode zur Lösung von Gleichungen in seiner Abhandlung „Die große Kunst“ veröffentlichte, wo laut unter anderem Er gab zu, dass Niccolò ihn sechs Jahre vor der Veröffentlichung dieses Werks Tartaglia (einem italienischen Mathematiker) auf die Idee gebracht hatte. In seiner Arbeit löst Kradano Gleichungen der Form:

Bei der Lösung dieser Gleichungen musste der Wissenschaftler die Existenz einer „unwirklichen“ Zahl zugeben, deren Quadrat gleich minus eins „-1“ sein würde, also als ob es eine Quadratwurzel von a gäbe negative Zahl, und wenn man sie nun quadriert, erhält man die entsprechende negative Zahl unter der Wurzel. Cardano stellte die Multiplikationsregel auf, nach der:

Drei Jahrhunderte lang war die mathematische Gemeinschaft dabei, sich an den neuen Ansatz von Cardano zu gewöhnen. Imaginäre Zahlen etablieren sich allmählich, aber Mathematiker zögern, dies zu akzeptieren. Erst mit der Veröffentlichung von Gauß‘ Werken zur Algebra, in denen er den Grundsatz der Algebra bewies, wurden komplexe Zahlen schließlich vollständig akzeptiert, das 19. Jahrhundert stand vor der Tür.

Imaginäre Zahlen wurden für Mathematiker zu einem echten Lebensretter, da die komplexesten Probleme durch die Annahme der Existenz imaginärer Zahlen viel einfacher zu lösen waren.

So kam es bald zur Elektrotechnik. Wechselstromkreise waren teilweise sehr komplex und zu ihrer Berechnung mussten viele Integrale berechnet werden, was oft sehr umständlich war.

Schließlich hielt der brillante Elektroingenieur Carl August Steinmetz 1893 in Chicago auf dem Internationalen Elektrotechnischen Kongress einen Bericht „Komplexe Zahlen und ihre Anwendung in der Elektrotechnik“, der tatsächlich den Beginn der praktischen Anwendung der komplexen Methode durch Ingenieure markierte Berechnung von Stromkreisen für Wechselstrom.

Das kennen wir aus dem Physikstudium Wechselstrom — Dabei handelt es sich um einen Strom, dessen Stärke und Richtung sich im Laufe der Zeit ändern.

In der Technik gibt es verschiedene Formen von Wechselstrom, am gebräuchlichsten ist heute jedoch der sinusförmige Wechselstrom, der überall verwendet wird und mit dessen Hilfe Strom in Form von Wechselstrom übertragen wird, der erzeugt und umgewandelt wird Transformatoren und wird von Verbrauchern verbraucht. Ein sinusförmiger Strom ändert sich periodisch nach einem sinusförmigen (harmonischen) Gesetz.

Die Effektivwerte von Strom und Spannung sind kleiner als die Amplitudenwerte der Wurzel aus zwei Zeiten:

Bei der komplexen Methode werden die Effektivwerte von Strömen und Spannungen wie folgt geschrieben:

Beachten Sie, dass in der Elektrotechnik die imaginäre Einheit mit dem Buchstaben „j“ bezeichnet wird, da hier bereits der Buchstabe „i“ zur Bezeichnung des Stroms verwendet wird.

Aus Ohm'sches Gesetz bestimmt den komplexen Wert des Widerstands:

Addition und Subtraktion komplexer Werte erfolgt in algebraischer Form, Multiplikation und Division in Exponentialform.

Betrachten wir die Methode komplexer Amplituden am Beispiel einer bestimmten Schaltung mit bestimmten Werten der Hauptparameter.

Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mit komplexen Zahlen

Gegeben:

• Spulenspannung 50 V,

• Widerstandswiderstand 25 Ohm,

• Spuleninduktivität 500 mH,

• die elektrische Kapazität des Kondensators beträgt 30 Mikrofarad,

• Spulenwiderstand 10 Ohm,

• Netzfrequenz 50 Hz.

Finden Sie: Amperemeter- und Voltmeterwerte sowie Wattmeter.

Antworten:

Zunächst schreiben wir den komplexen Widerstand von in Reihe geschalteten Elementen auf, der aus Real- und Imaginärteil besteht, und ermitteln dann den komplexen Widerstand eines aktiv-induktiven Elements.

Erinnern! Um die Exponentialform zu erhalten, ermitteln Sie den Modul z, der der Quadratwurzel der Summe der Quadrate des Real- und Imaginärteils entspricht, und Phi, der dem Arkustangens des Quotienten aus Imaginärteil und Realteil entspricht.

Dann ermitteln wir den Strom und dementsprechend die Messwerte des Amperemeters:

Das Amperemeter zeigt also einen Strom von 0,317 A an – das ist der Strom durch die gesamte Reihenschaltung.

Jetzt ermitteln wir den kapazitiven Widerstand des Kondensators und bestimmen dann seinen komplexen Widerstand:

Anschließend berechnen wir die gesamte komplexe Impedanz dieser Schaltung:

Jetzt ermitteln wir die an der Schaltung anliegende effektive Spannung:

Das Voltmeter zeigt eine effektive Spannung von 19,5 Volt an.

Schließlich ermitteln wir die Leistung, die das Wattmeter anzeigt, unter Berücksichtigung der Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung

Das Wattmeter zeigt 3,51 Watt an.

Jetzt verstehen Sie, wie wichtig komplexe Zahlen in der Elektrotechnik sind. Sie dienen der komfortablen Berechnung von Stromkreisen. Viele elektronische Messgeräte funktionieren auf der gleichen Basis.