Kirchhoffsche Gesetze – Formeln und Anwendungsbeispiele

Die Kirchhoffschen Gesetze legen den Zusammenhang zwischen Strömen und Spannungen in verzweigten Stromkreisen jeglicher Art fest. Aufgrund ihrer Vielseitigkeit sind die Kirchhoffschen Gesetze in der Elektrotechnik von besonderer Bedeutung, da sie zur Lösung jedes elektrischen Problems geeignet sind. Die Kirchhoffschen Gesetze gelten für lineare und nichtlineare Schaltkreise unter konstanter und wechselnder Spannung und Stromstärke.

Das erste Kirchhoffsche Gesetz folgt aus dem Ladungserhaltungssatz. Es besteht darin, dass die algebraische Summe der in jedem Knoten zusammenlaufenden Ströme gleich Null ist.

Dabei ist die Anzahl der Ströme, die an einem bestimmten Knoten zusammenfließen. Beispielsweise kann für einen Stromkreisknoten (Abb. 1) die Gleichung nach dem ersten Kirchhoffschen Gesetz in der Form I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0 geschrieben werden

Reis. 1

In dieser Gleichung werden die in den Knoten geleiteten Ströme als positiv angenommen.

In der Physik ist Kirchhoffs erstes Gesetz das Gesetz der Kontinuität des elektrischen Stroms.

Zweites Kirchhoffsches Gesetz: Die algebraische Summe des Spannungsabfalls in einzelnen Abschnitten eines geschlossenen Stromkreises, der in einem komplexen verzweigten Stromkreis willkürlich gewählt wird, ist gleich der algebraischen Summe der EMF in diesem Stromkreis

wobei k die Anzahl der EMF-Quellen ist; m- die Anzahl der Zweige in einer geschlossenen Schleife; Ii, Ri- Strom und Widerstand dieses Zweigs.

Reis. 2

Für einen geschlossenen Kreislauf (Abb. 2) gilt also E1 — E2 + E3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

Ein Hinweis zu den Vorzeichen der resultierenden Gleichung:

1) EMF ist positiv, wenn ihre Richtung mit der Richtung der willkürlich gewählten Umgehungsschaltung übereinstimmt;

2) Der Spannungsabfall im Widerstand ist positiv, wenn die Stromrichtung darin mit der Richtung des Bypasses übereinstimmt.

Physikalisch charakterisiert das zweite Kirchhoffsche Gesetz das Spannungsgleichgewicht in jedem Stromkreis des Stromkreises.

Berechnung des Abzweigstromkreises nach den Kirchhoffschen Gesetzen

Die Methode des Kirchhoffschen Gesetzes besteht in der Lösung eines Gleichungssystems, das nach dem ersten und zweiten Kirchhoffschen Gesetz zusammengesetzt ist.

Die Methode besteht darin, Gleichungen nach dem ersten und zweiten Kirchhoffschen Gesetz für die Knoten und Stromkreise des Stromkreises aufzustellen und diese Gleichungen zu lösen, um die unbekannten Ströme in den Zweigen und entsprechend die Spannungen zu bestimmen. Daher ist die Anzahl der Unbekannten gleich der Anzahl der Zweige, sodass nach dem ersten und zweiten Kirchhoffschen Gesetz dieselbe Anzahl unabhängiger Gleichungen gebildet werden muss.

Die Anzahl der Gleichungen, die auf der Grundlage des ersten Hauptsatzes gebildet werden können, ist gleich der Anzahl der Kettenknoten, und nur (y — 1) Gleichungen sind voneinander unabhängig.

Die Unabhängigkeit der Gleichungen wird durch die Wahl der Knoten gewährleistet. Typischerweise werden Knoten so ausgewählt, dass sich jeder nachfolgende Knoten durch mindestens einen Zweig von benachbarten Knoten unterscheidet.Die übrigen Gleichungen werden nach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz für unabhängige Schaltkreise formuliert, d. h. Anzahl der Gleichungen b — (y — 1) = b — y +1.

Eine Schleife heißt unabhängig, wenn sie mindestens einen Zweig enthält, der nicht in anderen Schleifen enthalten ist.

Lassen Sie uns ein System von Kirchhoff-Gleichungen für einen Stromkreis aufstellen (Abb. 3). Das Diagramm enthält vier Knoten und sechs Zweige.

Daher bilden wir nach dem ersten Kirchhoffschen Gesetz y — 1 = 4 — 1 = 3Gleichungen und zum zweiten b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 ebenfalls drei Gleichungen.

Wir wählen zufällig die positiven Richtungen der Ströme in allen Zweigen (Abb. 4). Wir wählen die Durchlaufrichtung der Konturen im Uhrzeigersinn.

Reis. 3

Wir stellen die erforderliche Anzahl von Gleichungen gemäß dem ersten und zweiten Kirchhoffschen Gesetz auf

Das resultierende Gleichungssystem wird nach den Strömen gelöst. Stellt sich bei der Berechnung heraus, dass der Strom im Zweig minus ist, dann ist seine Richtung entgegengesetzt zur angenommenen Richtung.

Potentialdiagramm – Dies ist eine grafische Darstellung des zweiten Kirchhoffschen Gesetzes, das zur Überprüfung der Richtigkeit von Berechnungen in linearen Widerstandsschaltungen verwendet wird. Für einen Stromkreis ohne Stromquellen wird ein Potenzialdiagramm erstellt, wobei die Potenziale der Punkte am Anfang und Ende des Diagramms gleich sein sollten.

Betrachten Sie die Schleife abcda der in Abb. gezeigten Schaltung. 4. Im Zweig ab zwischen dem Widerstand R1 und der EMF E1 markieren wir einen zusätzlichen Punkt k.

Reis. 4. Skizze zum Erstellen eines Potenzialdiagramms

Das Potenzial jedes Knotens wird als Null angenommen (z. B. ? a = 0). Wählen Sie die Schleifenumgehung und bestimmen Sie das Potenzial der Schleifenpunkte: ? a = 0 ,? k = ? a — I1R1, ?b =?k + E1 ,? c =?b — I2R2, ?d =? c -E2 ,?a =? d + I3R3 = 0

Bei der Erstellung eines Potentialdiagramms ist zu berücksichtigen, dass der EMF-Widerstand Null ist (Abb. 5).

Reis. 5. Potenzialdiagramm

Kirchhoffs Gesetze in komplexer Form

Für Sinusstromkreise werden die Kirchhoffschen Gesetze auf die gleiche Weise formuliert wie für Gleichstromkreise, jedoch nur für komplexe Werte von Strömen und Spannungen.

Kirchhoffs erstes Gesetz: „Die algebraische Summe der Komplexe des Stroms im Knoten des Stromkreises ist gleich Null.“

Kirchhoffs zweites Gesetz: „In jedem geschlossenen Stromkreis eines Stromkreises ist die algebraische Summe der komplexen EMK gleich der algebraischen Summe der komplexen Spannungen an allen passiven Elementen dieses Stromkreises.“