Fluss und Zirkulation eines Vektorfeldes

NBasierend auf Richard Feynmans Vorlesungsmaterialien

Wenn wir die Gesetze der Elektrizität anhand von Vektorfeldern beschreiben, werden wir mit zwei mathematisch wichtigen Merkmalen des Vektorfelds konfrontiert: Fluss und Zirkulation. Es wäre schön zu verstehen, was diese mathematischen Konzepte sind und welche praktische Bedeutung sie haben.

Der zweite Teil der Frage ist sofort leicht zu beantworten, da die Konzepte von Fluss und Zirkulation im Mittelpunkt stehen Maxwells Gleichungen, auf dem eigentlich die gesamte moderne Elektrodynamik beruht.

So kann beispielsweise das Gesetz der elektromagnetischen Induktion wie folgt formuliert werden: Die Zirkulation des elektrischen Feldes E entlang einer geschlossenen Schleife C ist gleich der Änderungsrate des Flusses des Magnetfelds B durch die von dieser begrenzte Oberfläche S Schleife B.

Im Folgenden wird ganz einfach anhand anschaulicher, fließender Beispiele beschrieben, wie die Feldeigenschaften mathematisch ermittelt werden, woraus diese Feldeigenschaften entnommen und gewonnen werden.

Vektorfeldfluss

Zeichnen wir zunächst eine bestimmte geschlossene Fläche völlig beliebiger Form um den Untersuchungsbereich. Nachdem wir diese Oberfläche dargestellt haben, fragen wir, ob das Untersuchungsobjekt, das wir Feld nennen, durch diese geschlossene Oberfläche fließt. Um zu verstehen, worum es geht, betrachten Sie ein einfaches Flüssigkeitsbeispiel.

Nehmen wir an, wir untersuchen das Geschwindigkeitsfeld einer bestimmten Flüssigkeit. Für ein solches Beispiel ist es sinnvoll zu fragen: Passiert mehr Flüssigkeit pro Zeiteinheit durch diese Oberfläche, als in das von dieser Oberfläche begrenzte Volumen fließt? Mit anderen Worten: Ist die Abflussrate immer primär von innen nach außen gerichtet?

Mit dem Ausdruck „Vektorfeldfluss“ (und für unser Beispiel wäre der Ausdruck „Flüssigkeitsgeschwindigkeitsfluss“ genauer) werden wir uns darauf einigen, die Gesamtmenge an imaginärer Flüssigkeit zu benennen, die durch die Oberfläche des betrachteten Volumens fließt, das durch gegebenes a begrenzt wird geschlossene Oberfläche (für die Flüssigkeitsdurchflussrate, wie viel Flüssigkeit pro Zeiteinheit aus dem Volumen folgt).

Infolgedessen ist der Fluss durch das Oberflächenelement gleich dem Produkt aus der Fläche des Oberflächenelements und der senkrechten Geschwindigkeitskomponente. Dann ist der gesamte (Gesamt-)Fluss über die gesamte Oberfläche gleich dem Produkt der durchschnittlichen Normalkomponente der Geschwindigkeit, die wir von innen nach außen zählen, und der Gesamtoberfläche.

Nun zurück zum elektrischen Feld. Das elektrische Feld kann natürlich nicht als die Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit betrachtet werden, aber wir haben das Recht, ein mathematisches Konzept der Strömung einzuführen, ähnlich dem, was wir oben als Strömung der Flüssigkeitsgeschwindigkeit beschrieben haben.

Nur im Falle eines elektrischen Feldes kann sein Fluss durch die mittlere Normalkomponente der elektrischen Feldstärke E bestimmt werden. Darüber hinaus kann der Fluss des elektrischen Feldes nicht unbedingt durch eine geschlossene Fläche, sondern durch jede begrenzte Fläche bestimmt werden der Nicht-Null-Fläche S .

Zirkulation eines Vektorfeldes

Es ist jedem bekannt, dass Felder der besseren Übersichtlichkeit halber in Form sogenannter Kraftlinien dargestellt werden können, bei denen in jedem Punkt die Richtung der Tangente mit der Richtung der Feldstärke übereinstimmt.

Kehren wir zur Flüssigkeitsanalogie zurück und stellen uns das Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit vor. Stellen wir uns eine Frage: Zirkuliert die Flüssigkeit? Das heißt, bewegt es sich hauptsächlich in Richtung eines imaginären geschlossenen Kreislaufs?

Stellen Sie sich zur besseren Verdeutlichung vor, dass sich die Flüssigkeit in einem großen Behälter irgendwie bewegt (Abb. A) und wir plötzlich fast ihr gesamtes Volumen eingefroren haben, es aber geschafft haben, das Volumen in Form eines gleichmäßig geschlossenen Röhrchens aufzutauen, in dem sich keine befindet Reibung der Flüssigkeit an den Wänden (Abb. b).

Außerhalb dieser Röhre ist die Flüssigkeit zu Eis geworden und kann sich daher nicht mehr bewegen, doch innerhalb der Röhre kann die Flüssigkeit ihre Bewegung fortsetzen, sofern ein vorherrschender Impuls vorhanden ist, der sie beispielsweise im Uhrzeigersinn antreibt (Abb. . °C). Dann wird das Produkt aus der Flüssigkeitsgeschwindigkeit im Rohr und der Länge des Rohrs als Flüssigkeitsgeschwindigkeitszirkulation bezeichnet.

In ähnlicher Weise können wir eine Zirkulation für ein Vektorfeld definieren. Obwohl wiederum nicht gesagt werden kann, dass das Feld die Geschwindigkeit von irgendetwas ist, können wir dennoch die mathematischen Eigenschaften der „Zirkulation“ entlang einer Kontur definieren.

Die Zirkulation eines Vektorfeldes entlang einer imaginären geschlossenen Schleife kann also als Produkt der durchschnittlichen Tangentialkomponente des Vektors in Richtung des Schleifendurchgangs – und der Länge der Schleife – definiert werden.