Impedanz von Wechselstromkreisen

Wenn Geräte mit aktivem und induktivem Widerstand in Reihe geschaltet werden (Abb. 1), kann der Gesamtwiderstand des Stromkreises nicht durch arithmetische Summation ermittelt werden. Wenn wir die Impedanz mit z bezeichnen, dann wird die Formel verwendet, um sie zu bestimmen:

Wie Sie sehen, ist die Impedanz die geometrische Summe aus Wirk- und Blindwiderstand. Wenn also beispielsweise r = 30 Ohm und XL = 40 Ohm, dann

d.h. Es stellte sich heraus, dass z kleiner als r + XL = 30 + 40 = 70 Ohm war.

Um die Berechnungen zu vereinfachen, ist es hilfreich zu wissen, dass Sie den niedrigeren Widerstand ignorieren und davon ausgehen können, dass z gleich dem höheren Widerstand ist, wenn einer der Widerstände (r oder xL) den anderen um den Faktor 10 oder mehr übertrifft. Der Fehler ist sehr gering.

Wenn zum Beispiel r = 1 Ohm und xL = 10 Ohm, dann

Ein Fehler von nur 0,5 % ist durchaus akzeptabel, da die Widerstände r und x selbst weniger genau bekannt sind.

Also wenn

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was ist, wenn

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Bei der Parallelschaltung von Zweigen mit aktivem und reaktivem Widerstand (Abb. 2) ist es bequemer, die Impedanz anhand der aktiven Leitfähigkeit zu berechnen

und reaktive Leitfähigkeit

Der Gesamtleitwert des Stromkreises y ist gleich der geometrischen Summe der aktiven und reaktiven Leitfähigkeiten:

Und der Gesamtwiderstand des Stromkreises ist der Kehrwert von y,

Wenn wir die Leitfähigkeit in Widerständen ausdrücken, erhält man leicht die folgende Formel:

Diese Formel ähnelt der bekannten Formel

aber nur der Nenner enthält nicht die arithmetische, sondern die geometrische Summe der Zweigwiderstände.

Ein Beispiel. Ermitteln Sie den Gesamtwiderstand, wenn Geräte mit r = 30 He und xL = 40 Ohm parallel geschaltet sind.

Antworten.

Bei der Berechnung von z für eine Parallelschaltung kann der Einfachheit halber ein großer Widerstand vernachlässigt werden, wenn er den kleinsten um den Faktor 10 oder mehr übersteigt. Der Fehler wird 0,5 % nicht überschreiten

Reis. 1. Reihenschaltung von Stromkreisabschnitten mit aktivem und induktivem Widerstand

Reis. 2. Parallelschaltung von Abschnitten eines Stromkreises mit aktivem und induktivem Widerstand

Deshalb, wenn

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was ist, wenn

Che

Das Prinzip der geometrischen Addition wird für Wechselstromkreise und in Fällen verwendet, in denen die Addition von Wirk- und Blindspannungen oder -strömen erforderlich ist. Für eine Reihenschaltung nach Abb. 1 Die Spannungen werden addiert:

Bei Parallelschaltung (Abb. 2) addieren sich die Ströme:

Werden Geräte, die nur einen aktiven Widerstand oder nur einen induktiven Widerstand haben, in Reihe oder parallel geschaltet, erfolgt die Addition der Widerstände bzw. Leitwerte und der entsprechenden Spannungen bzw. Ströme sowie der Wirk- bzw. Blindleistung rechnerisch.

Für jeden Wechselstromkreis kann das Ohmsche Gesetz in der folgenden Form geschrieben werden:

Dabei ist z die für jede Verbindung berechnete Impedanz, wie oben gezeigt.

Der Leistungsfaktor cosφ für jeden Stromkreis ist gleich dem Verhältnis der Wirkleistung P zur Gesamtleistung S. In einer Reihenschaltung kann dieses Verhältnis durch das Verhältnis der Spannungen oder Widerstände ersetzt werden:

Bei einer Parallelschaltung erhalten wir:

Die Herleitung der Grundformeln zum Entwurf eines Reihenwechselstromkreises mit aktivem und induktivem Widerstand kann wie folgt erfolgen.

Der einfachste Weg, ein Vektordiagramm für eine Reihenschaltung zu erstellen (Abb. 3).

Reis. 3. Vektordiagramm für eine Reihenschaltung mit aktivem und induktivem Widerstand

Dieses Diagramm zeigt den Stromvektor I, den Spannungsvektor UA im aktiven Abschnitt, der in der Richtung mit dem Vektor I zusammenfällt, und den Spannungsvektor UL am induktiven Widerstand. Diese Spannung liegt 90° vor dem Strom (denken Sie daran, dass die Vektoren als gegen den Uhrzeigersinn rotierend betrachtet werden müssen). Die Gesamtspannung U ist der Gesamtvektor, also die Diagonale eines Rechtecks ​​mit den Seiten UA und UL. Mit anderen Worten: U ist die Hypotenuse und UA und UL sind die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks. Es folgt dem

Das bedeutet, dass sich die Spannungen im Wirk- und Blindbereich geometrisch addieren.

Wenn wir beide Seiten der Gleichheit durch I2 dividieren, erhalten wir die Formel für die Widerstände:

oder