Gesetze der Kontaktschaltungsalgebra, Boolesche Algebra

Eine analytische Aufzeichnung der Struktur und Betriebsbedingungen von Relaisschaltungen ermöglicht es, analytische äquivalente Transformationen von Schaltungen durchzuführen, d. h. durch Transformation von Strukturformeln, Schemata zu finden, die in ihrer Funktionsweise ähnlich sind. Konvertierungsmethoden sind insbesondere für Strukturformeln zur Darstellung von Kontaktkreisen ausgereift.

Für Kontaktschaltungen wird der mathematische Apparat der Algebra der Logik verwendet, genauer gesagt eine ihrer einfachsten Varianten, die sogenannte Satzrechnung oder Boolesche Algebra (nach dem Mathematiker des letzten Jahrhunderts J. Boole).

Der Aussagenkalkül wurde ursprünglich entwickelt, um die Abhängigkeit (die Wahrheit oder Falschheit) komplexer Urteile von der Wahrheit oder Falschheit der einfachen Sätze, aus denen sie bestehen, zu untersuchen. Im Wesentlichen ist der Aussagenkalkül eine Algebra zweier Zahlen, d. h. eine Algebra in wobei jedes einzelne Argument und jede Funktion einen von zwei Werten haben kann.

Dies bestimmt die Möglichkeit der Verwendung der Booleschen Algebra zur Transformation von Kontaktkreisen, da jedes der in der Strukturformel enthaltenen Argumente (Kontakte) nur zwei Werte annehmen kann, d. h. geschlossen oder offen sein kann und die gesamte Funktion durch die Strukturformel dargestellt wird Die Formel kann entweder eine geschlossene oder eine offene Schleife ausdrücken.

Die Boolesche Algebra führt ein:

1) Objekte, die wie in der gewöhnlichen Algebra Namen haben: unabhängige Variablen und Funktionen – im Gegensatz zur gewöhnlichen Algebra können beide in der Booleschen Algebra jedoch nur zwei Werte annehmen: 0 und 1;

2) grundlegende logische Operationen:

• logische Addition (oder Disjunktion, logisches ODER, gekennzeichnet durch das Zeichen ?), die wie folgt definiert ist: Das Ergebnis der Operation ist genau dann 0, wenn alle Argumente der Operation gleich 0 sind, andernfalls ist das Ergebnis 1;

• logische Multiplikation (oder Verkettung, logisches UND, gekennzeichnet durch ? oder überhaupt nicht angegeben), die wie folgt definiert ist: Das Ergebnis der Operation ist genau dann 1, wenn alle Argumente der Operation gleich 1 sind, andernfalls das Ergebnis ist 0;

• Negation (oder umgekehrt, logisches NICHT, angezeigt durch einen Balken über dem Argument), die wie folgt definiert ist: Das Ergebnis der Operation hat den entgegengesetzten Wert des Arguments;

3) Axiome (Gesetze der Booleschen Algebra), die die Regeln für die Transformation logischer Ausdrücke definieren.

Beachten Sie, dass jede der logischen Operationen sowohl auf Variablen als auch auf Funktionen ausgeführt werden kann, die im Folgenden als boolesche Funktionen bezeichnet werden... Denken Sie daran, dass in Analogie zur gewöhnlichen Algebra in der booleschen Algebra die Operation der logischen Multiplikation Vorrang vor der logischen hat Additionsoperation.

Boolesche Ausdrücke werden durch die Kombination logischer Operationen an einer Reihe von Objekten (Variablen oder Funktionen), sogenannten Argumenten der Operation, gebildet.

Die Transformation logischer Ausdrücke nach den Gesetzen der Booleschen Algebra erfolgt üblicherweise mit dem Ziel der Minimierung, denn je einfacher der Ausdruck, desto geringer ist die Komplexität der Logikkette, also der technischen Umsetzung des logischen Ausdrucks.

Die Gesetze der Booleschen Algebra werden als eine Reihe von Axiomen und Konsequenzen dargestellt. Diese lassen sich ganz einfach überprüfen, indem man unterschiedliche Werte der Variablen einsetzt.

Das technische Analogon eines jeden logischen Ausdrucks für eine boolesche Funktion ist ein Logikdiagramm... In diesem Fall werden die Variablen, von denen eine boolesche Funktion abhängt, mit den externen Eingängen dieser Schaltung verbunden, an denen der Wert einer booleschen Funktion gebildet wird externer Ausgang der Schaltung, und jede logische Operation in einem logischen Ausdruck wird durch ein logisches Element implementiert.

Somit wird für jeden Satz von Eingangssignalen am Ausgang der Logikschaltung ein Signal erzeugt, das dem Wert einer booleschen Funktion dieses Satzes von Variablen entspricht (im Folgenden verwenden wir die folgende Konvention: 0 – niedriger Signalpegel , 1 – hoher Signalpegel).

Beim Aufbau von Logikschaltungen gehen wir davon aus, dass die Variablen dem Eingang in einem Paraphasencode zugeführt werden (d. h. es stehen sowohl direkte als auch inverse Werte der Variablen zur Verfügung).

Tabelle 1 zeigt die herkömmlichen grafischen Bezeichnungen einiger Logikelemente gemäß GOST 2.743-91 sowie ihre ausländischen Gegenstücke.

Zusätzlich zu den Elementen, die die drei Operationen der Booleschen Algebra (UND, ODER, NICHT) ausführen, sind in Tab. 1 zeigt die Elemente, die von der Hauptoperation abgeleitete Operationen ausführen:

– AND -NOT – Negation der logischen Multiplikation, auch Schäfer-Zug genannt (gekennzeichnet mit |)

– ODER – NICHT – Negation des logischen Komplements, auch Peirce-Pfeil genannt (gekennzeichnet mit ?)

Durch die serielle Verbindung von Logikgattern können Sie jede beliebige boolesche Funktion implementieren.

Strukturformeln, die Relaisschaltungen im Allgemeinen ausdrücken, d. h. die Symbole reagierender Adler enthalten, können nicht als Funktionen zweier Werte betrachtet werden, die nur geschlossene oder offene Schaltungen ausdrücken. Daher ergeben sich bei der Arbeit mit solchen Funktionen eine Reihe neuer Abhängigkeiten, die über die Grenzen der Booleschen Algebra hinausgehen.

In der Booleschen Algebra gibt es vier Paare von Grundgesetzen: zwei Verschiebungen, zwei kombinatorische, zwei distributive und zwei gesetzliche Umkehrungen. Diese Gesetze legen die Äquivalenz verschiedener Ausdrücke fest, das heißt, sie betrachten Ausdrücke, die wie die Substitution von Identitäten in der gewöhnlichen Algebra gegeneinander ausgetauscht werden können. Als Äquivalenzsymbol nehmen wir das Symbol, das mit dem Gleichheitssymbol in der gewöhnlichen Algebra identisch ist (=).

Die Gültigkeit der Gesetze der Booleschen Algebra für Kontaktkreise wird durch die Betrachtung von Kreisen nachgewiesen, die der linken und rechten Seite äquivalenter Ausdrücke entsprechen.

Reisegesetze

Addieren: x + y = y + x

Die diesen Ausdrücken entsprechenden Schemata sind in Abb. dargestellt. 1, a.

Die linken und rechten Schaltkreise sind normalerweise offene Schaltkreise, die jeweils geschlossen werden, wenn eines der Elemente (X oder Y) ausgelöst wird, d. h. diese Schaltkreise sind gleichwertig. Zur Multiplikation: x ·y = y ·NS.

Die diesen Ausdrücken entsprechenden Schemata sind in Abb. dargestellt. 1b ist auch ihre Äquivalenz offensichtlich.

Reis. 1

Kombinationsgesetze

Zur Ergänzung: (x + y) + z = x + (y + z)

Zur Multiplikation: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Die diesen Ausdrücken entsprechenden Ersatzschaltkreispaare sind in Abb. dargestellt. 2, a, b

Reis. 2

Vertriebsgesetze

Multiplikation versus Addition: (x + y) +z = x + (y + z)

Addition vs. Multiplikation. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Die diesen Ausdrücken entsprechenden Schemata sind in Abb. dargestellt. 3, a, b.

Reis. 3.

Die Äquivalenz dieser Schemata kann leicht überprüft werden, indem verschiedene Kombinationen der Kontaktbetätigung berücksichtigt werden.

Gesetze der Inversion

Zusätzlich gilt: NS + c = NS·c

Der Balken über der linken Seite des Ausdrucks ist ein Negations- oder Umkehrzeichen. Dieses Zeichen zeigt an, dass die gesamte Funktion die entgegengesetzte Bedeutung in Bezug auf den Ausdruck unter dem Negationszeichen hat. Es ist nicht möglich, ein Diagramm zu zeichnen, das der gesamten Umkehrfunktion entspricht. Man kann jedoch ein Diagramm zeichnen, das dem Ausdruck unter dem negativen Vorzeichen entspricht. Somit kann die Formel mit den Diagrammen in Abb. veranschaulicht werden. 4, a.

Reis. 4.

Das linke Diagramm entspricht dem Ausdruck x + y, das rechte dem Ausdruck NS ·c

Diese beiden Stromkreise sind im Betrieb einander entgegengesetzt, nämlich: Wenn der linke Stromkreis mit den nicht erregten Elementen X, Y ein offener Stromkreis ist, dann ist der rechte Stromkreis geschlossen. Wenn im linken Stromkreis beim Auslösen eines der Elemente der Stromkreis geschlossen wird, öffnet er sich im rechten Stromkreis dagegen.

Da nach der Definition des negativen Vorzeichens die Funktion x + y die Umkehrung der Funktion x + y ist, ist es offensichtlich, dass x + y = NS·in.

Zur Multiplikation: NS · c = NS + c

Die entsprechenden Schemata sind in Abb. dargestellt. 4, geb.

Translokative und kombinatorische Gesetze sowie das Verteilungsgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition (entsprechen ähnlichen Gesetzen der gewöhnlichen Algebra).Daher können Sie bei der Transformation von Strukturformeln in der Reihenfolge der Addition und Multiplikation von Termen, der Platzierung von Termen außerhalb von Klammern und der Erweiterung von Klammern die für die Arbeit mit gewöhnlichen algebraischen Ausdrücken festgelegten Regeln befolgen. Das Verteilungsgesetz der Addition in Bezug auf die Multiplikation und die Inversionsgesetze sind spezifisch für die Boolesche Algebra.