Das Biot-Savart-Gesetz und der Satz der Zirkulation des magnetischen Induktionsvektors

Im Jahr 1820 stellten die französischen Wissenschaftler Jean-Baptiste Biot und Félix Savard im Rahmen gemeinsamer Experimente zur Untersuchung der Magnetfelder von Gleichströmen eindeutig fest, dass die magnetische Induktion eines durch einen Leiter fließenden Gleichstroms als Ergebnis angesehen werden kann allgemeine Wirkung aller Abschnitte dieses Drahtes mit Strom. Das bedeutet, dass das Magnetfeld dem Superpositionsprinzip (dem Prinzip der Überlagerung von Feldern) gehorcht.

Das von einer Gruppe von Gleichstromdrähten erzeugte Magnetfeld hat folgende Eigenschaften magnetische Induktiondass sein Wert als Vektorsumme der magnetischen Induktionen definiert ist, die von jedem Leiter einzeln erzeugt werden. Das heißt, die Induktion B des Gleichstromleiters lässt sich gut durch die Vektorsumme der Elementarinduktionen dB darstellen, die zu den Elementarabschnitten dl des betrachteten Gleichstromleiters I gehören.

Es ist praktisch unrealistisch, einen elementaren Abschnitt eines Gleichstromleiters zu isolieren, weil D.C. immer geschlossen.Aber Sie können die gesamte magnetische Induktion messen, die von einem Draht erzeugt wird, das heißt, die von allen Elementarteilen eines bestimmten Drahtes erzeugt wird.

Somit ermöglicht das Biot-Sovar-Gesetz, den Wert der magnetischen Induktion B des Abschnitts (bekannte Länge dl) des Leiters bei einem gegebenen Gleichstrom I in einem bestimmten Abstand r von diesem Abschnitt des Leiters und in a zu ermitteln bestimmte Beobachtungsrichtung vom ausgewählten Abschnitt (eingestellt durch den Sinus des Winkels zwischen der Richtung des Stroms und der Richtung vom Abschnitt des Leiters zum untersuchten Punkt im Raum in der Nähe des Leiters):

Es wurde experimentell festgestellt, dass die Richtung des magnetischen Induktionsvektors leicht durch die rechte Schrauben- oder Kardanregel bestimmt werden kann: Wenn die Richtung der Translationsbewegung des Kardanrings während seiner Drehung mit der Richtung des Gleichstroms I im Draht übereinstimmt, dann Drehrichtung des kardanischen Griffs bestimmt die Richtung des magnetischen Induktionsvektors B, der von einem gegebenen Strom erzeugt wird.

Das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Drahtes sowie eine Veranschaulichung der Anwendung des Bio-Savart-Gesetzes darauf sind in der Abbildung dargestellt:

Wenn wir also den Beitrag jedes kleinen Abschnitts eines Konstantstromleiters zum Gesamtmagnetfeld integrieren, also addieren, erhalten wir daraus eine Formel zum Ermitteln der magnetischen Induktion eines Stromleiters bei einem bestimmten Radius R .

Auf die gleiche Weise können Sie mithilfe des Bio-Savard-Gesetzes die magnetischen Induktionen aus Gleichströmen unterschiedlicher Konfiguration und an bestimmten Punkten im Raum berechnen. Beispielsweise wird die magnetische Induktion im Zentrum eines Kreiskreises mit einem Strom ermittelt folgende Formel:

Die Richtung des magnetischen Induktionsvektors lässt sich anhand der Kardanregel leicht ermitteln, nur muss nun der Kardanring in Richtung des geschlossenen Stroms gedreht werden, und die Vorwärtsbewegung des Kardanrings zeigt die Richtung des magnetischen Induktionsvektors an.

Berechnungen in Bezug auf das Magnetfeld können oft vereinfacht werden, wenn wir die Symmetrie der durch das erzeugende Feld gegebenen Konfiguration der Ströme berücksichtigen. Hier können Sie den Satz der Zirkulation des magnetischen Induktionsvektors verwenden (wie der Satz von Gauß in der Elektrostatik). Was ist „Zirkulation des magnetischen Induktionsvektors“?

Wählen wir im Raum eine bestimmte geschlossene Schleife beliebiger Form und geben wir bedingt die positive Richtung ihrer Ausbreitung an. Für jeden Punkt dieser Schleife können Sie die Projektion des magnetischen Induktionsvektors B auf die Tangente an die Schleife an diesem Punkt finden. Dann ist die Summe der Produkte dieser Größen mit den Elementarlängen aller Abschnitte der Kontur die Zirkulation des magnetischen Induktionsvektors B entlang dieser Kontur:

Praktisch alle Ströme, die hier ein allgemeines Magnetfeld erzeugen, können entweder den betrachteten Stromkreis durchdringen oder einige von ihnen außerhalb davon liegen. Nach dem Zirkulationssatz: Die Zirkulation des magnetischen Induktionsvektors B von Gleichströmen in einem geschlossenen Kreis ist numerisch gleich dem Produkt der magnetischen Konstante mu0 mit der Summe aller Gleichströme, die den Kreis durchdringen. Dieser Satz wurde 1826 von Andre Marie Ampere formuliert:

Betrachten Sie die obige Abbildung. Hier durchdringen die Ströme I1 und I2 den Stromkreis, sind jedoch in unterschiedliche Richtungen gerichtet, was bedeutet, dass sie bedingt unterschiedliche Vorzeichen haben.Das positive Vorzeichen hat einen Strom, dessen Richtung der magnetischen Induktion (gemäß der Grundregel) mit der Richtung des Bypasses des ausgewählten Stromkreises übereinstimmt. Für diese Situation hat der Zirkulationssatz die Form:

Im Allgemeinen folgt der Satz für die Zirkulation des magnetischen Induktionsvektors B aus dem Prinzip der Magnetfeldüberlagerung und dem Biot-Savard-Gesetz.

Wir leiten beispielsweise die Formel für die magnetische Induktion eines Gleichstromleiters ab. Wählen wir eine Kontur in Form eines Kreises, durch dessen Mittelpunkt dieser Draht verläuft und der Draht senkrecht zur Ebene der Kontur verläuft.

Der Mittelpunkt des Kreises liegt also direkt im Mittelpunkt des Leiters, also im Leiter. Da das Bild symmetrisch ist, ist der Vektor B tangential zum Kreis gerichtet, und seine Projektion auf die Tangente ist daher überall gleich und gleich der Länge des Vektors B. Der Zirkulationssatz lautet wie folgt:

Daher folgt die Formel für die magnetische Induktion eines geraden Leiters mit Gleichstrom (diese Formel wurde oben bereits angegeben). In ähnlicher Weise kann man mit dem Zirkulationssatz leicht die magnetischen Induktionen symmetrischer Gleichstromkonfigurationen finden, bei denen das Bild der Feldlinien leicht zu visualisieren ist.

Eines der praktisch wichtigen Beispiele für die Anwendung des Zirkulationssatzes ist die Ermittlung des Magnetfelds im Inneren eines Ringinduktors.

Angenommen, es gibt eine Ringspule, die auf einem ringförmigen Kartonrahmen mit der Anzahl N Windungen rundum gewickelt ist. In dieser Konfiguration sind die magnetischen Induktionslinien im Inneren des Donuts eingeschlossen und haben die Form konzentrischer (ineinander) Kreise .

Schaut man in die Richtung des magnetischen Induktionsvektors entlang der Innenachse des Donuts, stellt sich heraus, dass der Strom überall im Uhrzeigersinn gerichtet ist (gemäß der Kardanregel). Betrachten Sie eine der Linien (rot dargestellt) der magnetischen Induktion innerhalb der Spule und wählen Sie sie als kreisförmige Schleife mit dem Radius r. Dann lautet der Zirkulationssatz für einen gegebenen Kreis wie folgt:

Und die magnetische Induktion des Feldes innerhalb der Spule ist gleich:

Für eine dünne Ringspule, bei der das Magnetfeld über ihren gesamten Querschnitt nahezu gleichmäßig ist, kann man den Ausdruck für die magnetische Induktion wie für einen unendlich langen Elektromagneten schreiben, wobei man die Anzahl der Windungen pro Längeneinheit berücksichtigt – N :

Betrachten Sie nun einen unendlich langen Magneten, bei dem sich das Magnetfeld vollständig im Inneren befindet. Wir wenden den Zirkulationssatz auf die ausgewählte rechteckige Kontur an.

Hier ergibt der magnetische Induktionsvektor nur auf Seite 2 eine Projektion ungleich Null (seine Länge ist gleich L). Unter Verwendung des Parameters n – „Anzahl der Windungen pro Längeneinheit“ erhalten wir eine solche Form des Zirkulationssatzes, die sich letztendlich auf die gleiche Form wie für eine MultitonCoy-Toroidspule reduziert: