Maxwells Gleichungen für ein elektromagnetisches Feld – die Grundgesetze der Elektrodynamik
Das System der Maxwellschen Gleichungen verdankt seinen Namen und sein Aussehen James Clerk Maxwell, der diese Gleichungen im späten 19. Jahrhundert formulierte und schrieb.
Maxwell James Clark (1831 - 1879) ist ein berühmter britischer Physiker und Mathematiker, Professor an der Universität Cambridge in England.
Er kombinierte in seinen Gleichungen praktisch alle damals gewonnenen experimentellen Ergebnisse zu Elektrizität und Magnetismus und gab den Gesetzen des Elektromagnetismus eine klare mathematische Form. Die Grundgesetze der Elektrodynamik (Maxwell-Gleichungen) wurden 1873 formuliert.
Maxwell entwickelte Faradays Lehre vom elektromagnetischen Feld zu einer kohärenten mathematischen Theorie, aus der sich die Möglichkeit der Wellenausbreitung elektromagnetischer Prozesse ergibt. Es stellte sich heraus, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Prozesse gleich der Lichtgeschwindigkeit ist (deren Wert bereits aus Experimenten bekannt war).
Dieser Zufall diente Maxwell als Grundlage, um die Idee der gemeinsamen Natur elektromagnetischer und Lichtphänomene auszudrücken, d.h. über die elektromagnetische Natur des Lichts.
Die von James Maxwell aufgestellte Theorie der elektromagnetischen Phänomene fand ihre erste Bestätigung in den Experimenten von Hertz, der als erster sie erhielt Elektromagnetische Wellen.
Daher spielten diese Gleichungen eine wichtige Rolle bei der Bildung genauer Darstellungen der klassischen Elektrodynamik. Maxwell-Gleichungen können in Differential- oder Integralform geschrieben werden. In der Praxis beschreiben sie in der trockenen Sprache der Mathematik das elektromagnetische Feld und seine Beziehung zu elektrischen Ladungen und Strömen im Vakuum und in kontinuierlichen Medien. Zu diesen Gleichungen können Sie hinzufügen Ausdruck für die Lorentzkraft, in diesem Fall erhalten wir ein vollständiges Gleichungssystem der klassischen Elektrodynamik.
Um einige der mathematischen Symbole zu verstehen, die in den Differentialformen der Maxwell-Gleichungen verwendet werden, definieren wir zunächst etwas so Interessantes wie den Nabla-Operator.
Nabla-Operator (oder Hamilton-Operator) Ist ein Vektordifferentialoperator, dessen Komponenten partielle Ableitungen nach den Koordinaten sind. Für unseren realen Raum, der dreidimensional ist, eignet sich ein rechtwinkliges Koordinatensystem, für das der Operator nabla wie folgt definiert ist:
wobei i, j und k Einheitskoordinatenvektoren sind
Wenn der Nabla-Operator auf mathematische Weise auf ein Feld angewendet wird, ergeben sich drei mögliche Kombinationen. Diese Kombinationen heißen:
Gradient – ein Vektor, dessen Richtung die Richtung des größten Anstiegs einer bestimmten Größe angibt, deren Wert von einem Punkt im Raum zum anderen variiert (Skalarfeld) und dessen Größe (Modul) der Wachstumsrate dieser Größe entspricht Menge in diese Richtung.
Divergenz (Divergenz) – ein Differentialoperator, der ein Vektorfeld einem Skalar zuordnet (d. h. als Ergebnis der Anwendung der Differenzierungsoperation auf ein Vektorfeld wird ein Skalarfeld erhalten), der (für jeden Punkt) bestimmt, „wie viel das Feld eintritt und“. lässt eine kleine Umgebung eines gegebenen Punktes divergieren“, genauer gesagt, wie unterschiedlich die Zu- und Abflüsse sind.
Rotor (Wirbel, Rotation) ist ein Vektordifferentialoperator über einem Vektorfeld.
Denken Sie jetzt klar Maxwell-Gleichungen in Integral- (links) und Differentialform (rechts).Enthält die Grundgesetze elektrischer und magnetischer Felder, einschließlich der elektromagnetischen Induktion.
Integralform: Die Zirkulation des elektrischen Feldstärkevektors entlang einer beliebigen geschlossenen Schleife ist direkt proportional zur Änderungsrate des magnetischen Flusses durch den von dieser Schleife begrenzten Bereich.
Differentialform: Jede Änderung des Magnetfelds erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld, das proportional zur Änderungsrate der Magnetfeldinduktion ist.
Physikalische Bedeutung: Jede Änderung des Magnetfelds im Laufe der Zeit führt zur Entstehung eines elektrischen Wirbelfelds.
Integralform: Der Magnetfeldinduktionsfluss durch eine beliebige geschlossene Oberfläche ist Null. Das bedeutet, dass es in der Natur keine magnetischen Ladungen gibt.
Differentialform: Der Fluss der Feldlinien der Induktion eines Magnetfelds mit unendlichem Elementarvolumen ist gleich Null, da das Feld Wirbel ist.
Physikalische Bedeutung: In der Natur gibt es keine Magnetfeldquellen in Form magnetischer Ladungen.
Integralform: Die Zirkulation des magnetischen Feldstärkevektors entlang einer beliebigen geschlossenen Schleife ist direkt proportional zum Gesamtstrom, der die von dieser Schleife abgedeckte Oberfläche durchquert.
Differentialform: Ein Wirbelmagnetfeld existiert um jeden stromdurchflossenen Leiter und um jedes elektrische Wechselfeld.
Physikalische Bedeutung: Der Fluss von leitendem Strom durch Drähte und die zeitlichen Veränderungen des elektrischen Feldes führen zum Auftreten eines Wirbelmagnetfeldes.
Integralform: Der Fluss des elektrostatischen Induktionsvektors durch eine beliebige geschlossene Oberfläche, die die Ladungen umschließt, ist direkt proportional zur gesamten Ladung, die sich innerhalb dieser Oberfläche befindet.
Differentialform: Der Fluss des Induktionsvektors des elektrostatischen Feldes aus einem unendlichen Elementarvolumen ist direkt proportional zur Gesamtladung in diesem Volumen.
Physikalische Bedeutung: Die Quelle des elektrischen Feldes ist eine elektrische Ladung.
Das System dieser Gleichungen kann durch ein System sogenannter Materialgleichungen ergänzt werden, die die Eigenschaften des den Raum füllenden materiellen Mediums charakterisieren:
