Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen

Reihenschaltung von Widerständen

Nehmen Sie drei konstante Widerstände R1, R2 und R3 und verbinden Sie sie so mit dem Stromkreis, dass das Ende des ersten Widerstands R1 mit dem Anfang des zweiten Widerstands R2 verbunden ist, das Ende des zweiten mit dem Anfang des dritten R3 und Bis zum Anfang des ersten Widerstands und bis zum Ende des dritten Widerstands entfernen wir die Drähte von der Stromquelle (Abb. 1).

Diese Verbindung von Widerständen wird als Reihe bezeichnet. Offensichtlich ist der Strom in einem solchen Stromkreis an allen Punkten gleich.

Reis 1… Reihenschaltung von Widerständen

Wie bestimmen wir den Gesamtwiderstand eines Stromkreises, wenn wir bereits alle in Reihe geschalteten Widerstände kennen? Unter der Voraussetzung, dass die Spannung U an den Anschlüssen der Stromquelle gleich der Summe der Spannungsabfälle in den Schaltungsabschnitten ist, können wir schreiben:

U = U1 + U2 + U3

Wo

U1 = IR1, U2 = IR2 und U3 = IR3

oder

IR = IR1 + IR2 + IR3

Wenn wir die rechte Seite der Gleichung I in Klammern ausführen, erhalten wir IR = I (R1 + R2 + R3).

Nun dividieren wir beide Seiten der Gleichheit durch I, schließlich erhalten wir R = R1 + R2 + R3

Wir kamen daher zu dem Schluss, dass bei Reihenschaltung der Widerstände der Gesamtwiderstand des gesamten Stromkreises gleich der Summe der Widerstände der einzelnen Abschnitte ist.

Lassen Sie uns diese Schlussfolgerung anhand des folgenden Beispiels überprüfen. Man nehme drei konstante Widerstände, deren Werte bekannt sind (z. B. R1 == 10 Ohm, R2 = 20 Ohm und R3 = 50 Ohm). Lassen Sie uns sie in Reihe schalten (Abb. 2) und an eine Stromquelle anschließen, deren EMF 60 V beträgt (Innenwiderstand der Stromquelle vernachlässigt).

Reis. 2. Beispiel einer Reihenschaltung von drei Widerständen

Berechnen wir, welche Messwerte die angeschlossenen Geräte wie im Diagramm gezeigt liefern sollten, wenn wir den Stromkreis schließen. Bestimmen Sie den Außenwiderstand des Stromkreises: R = 10 + 20 + 50 = 80 Ohm.

Finden Sie den Strom im Stromkreis Ohm'sches Gesetz: 60 / 80= 0,75 A.

Wenn wir den Strom im Stromkreis und den Widerstand seiner Abschnitte kennen, bestimmen wir den Spannungsabfall in jedem Abschnitt des Stromkreises U1 = 0,75 x 10 = 7,5 V, U2 = 0,75 x 20 = 15 V, U3 = 0,75 x 50 = 37,5 V .

Wenn wir den Spannungsabfall in den Abschnitten kennen, bestimmen wir den gesamten Spannungsabfall im externen Stromkreis, also die Spannung an den Klemmen der Stromquelle U = 7,5 + 15 + 37,5 = 60 V.

Wir erhalten so, dass U = 60 V ist, also die nicht existierende Gleichheit der EMK der Stromquelle und ihrer Spannung. Dies liegt daran, dass wir den Innenwiderstand der Stromquelle vernachlässigt haben.

Nachdem wir die K-Taste geschlossen haben, können wir uns anhand der Tools davon überzeugen, dass unsere Berechnungen annähernd korrekt sind.

Parallelschaltung von Widerständen

Nehmen Sie zwei konstante Widerstände R1 und R2 und verbinden Sie sie so, dass der Ursprung dieser Widerstände in einem gemeinsamen Punkt a liegt und die Enden in einem anderen gemeinsamen Punkt b liegen. Indem wir dann die Punkte a und b mit einer Stromquelle verbinden, erhalten wir einen geschlossenen Stromkreis. Diese Verbindung von Widerständen wird als Parallelschaltung bezeichnet.

Abbildung 3. Parallelschaltung von Widerständen

Verfolgen wir den Stromfluss in diesem Stromkreis. Vom Pluspol der Stromquelle über den Anschlussdraht gelangt der Strom zum Punkt a. Am Punkt a verzweigt es sich, denn hier verzweigt sich der Stromkreis selbst in zwei getrennte Zweige: den ersten Zweig mit dem Widerstand R1 und den zweiten mit dem Widerstand R2. Bezeichnen wir die Ströme in diesen Zweigen mit I1 bzw. Az2. Jeder dieser Ströme nimmt seinen eigenen Zweig zum Punkt b. An diesem Punkt verschmelzen die Ströme zu einem einzigen Strom, der den Minuspol der Stromquelle erreicht.

Wenn also Widerstände parallel geschaltet werden, entsteht ein Zweigstromkreis. Mal sehen, wie das Verhältnis zwischen den Strömen in unserem Stromkreis sein wird.

Schließen Sie das Amperemeter zwischen dem Pluspol der Stromquelle (+) und Punkt a an und notieren Sie den Messwert. Wenn wir dann das Amperemeter (in der Abbildung mit der gestrichelten Linie dargestellt) im Verbindungsdrahtpunkt b mit dem Minuspol der Stromquelle (-) verbinden, stellen wir fest, dass das Gerät die gleiche Stromstärke anzeigt.

Es bedeutet Stromkreis vor seiner Verzweigung (nach Punkt a) ist gleich der Stärke des Stroms nach der Verzweigung des Stromkreises (nach Punkt b).

Jetzt schalten wir nacheinander das Amperemeter in jedem Zweig des Stromkreises ein und speichern die Messwerte des Geräts. Lassen Sie das Amperemeter den Strom im ersten Zweig I1 und im zweiten - Az2 anzeigen.Durch Addition dieser beiden Amperemeter-Messwerte erhalten wir einen Gesamtstrom, dessen Größe dem Strom Iz vor der Verzweigung (zu Punkt a) entspricht.

Daher ist die Stärke des zum Verzweigungspunkt fließenden Stroms gleich der Summe der Stärken der von diesem Punkt fließenden Ströme. I = I1 + I2 Wenn wir dies durch die Formel ausdrücken, erhalten wir

Dieses Verhältnis, das von großer praktischer Bedeutung ist, wird als Gesetz der verzweigten Kette bezeichnet.

Betrachten wir nun das Verhältnis zwischen den Strömen in den Zweigen.

Schließen wir ein Voltmeter zwischen den Punkten a und b an und sehen wir, was es anzeigt. Zunächst zeigt das Voltmeter die Spannung der Stromquelle beim Anschließen an, wie aus Abb. ersichtlich ist. 3direkt an die Stromquellenklemmen. Zweitens zeigt das Voltmeter einen Spannungsabfall an. U1 und U2 an den Widerständen R1 und R2, da es mit dem Anfang und Ende jedes Widerstands verbunden ist.

Wenn Widerstände parallel geschaltet sind, ist die Spannung an den Stromquellenanschlüssen daher gleich dem Spannungsabfall an jedem Widerstand.

Dies erlaubt uns zu schreiben, dass U = U1 = U2,

wobei U die Klemmenspannung der Stromquelle ist; U1 – Spannungsabfall am Widerstand R1, U2 – Spannungsabfall am Widerstand R2. Denken Sie daran, dass der Spannungsabfall über einem Abschnitt eines Stromkreises numerisch gleich dem Produkt des durch diesen Abschnitt fließenden Stroms mit dem Abschnittswiderstand U = IR ist.

Daher können Sie für jeden Zweig schreiben: U1 = I1R1 und U2 = I2R2, aber da U1 = U2, dann ist I1R1 = I2R2.

Wenn wir die Proportionalitätsregel auf diesen Ausdruck anwenden, erhalten wir I1 / I2 = U2 / U1, d Der Widerstand des ersten Zweigs ist kleiner (oder größer) als der Widerstand des zweiten Zweigs.

Wir sind also zu einer wichtigen Schlussfolgerung gekommen: Bei der Parallelschaltung von Widerständen verzweigt sich der Gesamtstrom des Stromkreises in Ströme, die umgekehrt proportional zu den Widerstandswerten der Parallelzweige sind. Mit anderen Worten: Je höher der Widerstand des Zweigs, desto weniger Strom fließt durch ihn, und umgekehrt: Je niedriger der Widerstand des Zweigs, desto größer ist der Strom, der durch diesen Zweig fließt.

Lassen Sie uns die Richtigkeit dieser Abhängigkeit anhand des folgenden Beispiels überprüfen. Stellen wir einen Stromkreis zusammen, der aus zwei parallel geschalteten Widerständen R1 und R2 besteht, die an eine Stromquelle angeschlossen sind. Sei R1 = 10 Ohm, R2 = 20 Ohm und U = 3 V.

Berechnen wir zunächst, was uns das an jeden Zweig angeschlossene Amperemeter anzeigt:

I1 = U / R1 = 3/10 = 0,3 A = 300 mA

Az2 = U / R2 = 3/20 = 0,15 A = 150 mA

Gesamtstrom im Stromkreis I = I1 + I2 = 300 + 150 = 450 mA

Unsere Berechnung bestätigt, dass sich der Strom im Stromkreis bei Parallelschaltung von Widerständen umgekehrt proportional zu den Widerständen verzweigt.

Tatsächlich ist R1 == 10 Ohm halb so groß wie R2 = 20 Ohm, während I1 = 300 mA zweimal I2 = 150 mA beträgt. Der Gesamtstrom im Stromkreis beträgt I = 450 mA und wird in zwei Teile geteilt, sodass der größere Teil davon (I1 = 300 mA) durch den unteren Widerstand (R1 = 10 Ohm) und der kleinere Teil (R2 = 150 mA) durchfließt einen größeren Widerstand (R2 = 20 Ohm).

Diese Aufteilung des Stroms in parallele Zweige ähnelt dem Fluss einer Flüssigkeit durch Rohre.Stellen Sie sich ein Rohr A vor, das sich irgendwann in zwei Rohre B und C unterschiedlichen Durchmessers verzweigt (Abb. 4). Da der Durchmesser von Rohr B größer ist als der Durchmesser von Rohr C, fließt gleichzeitig mehr Wasser durch Rohr B als durch Rohr C, das einen größeren Widerstand für den Wasserfluss aufweist.

Reis. 4… Durch ein dünnes Rohr fließt in der gleichen Zeit weniger Wasser als durch ein dickes.

Betrachten wir nun den Gesamtwiderstand eines externen Stromkreises, der aus zwei parallel geschalteten Widerständen besteht.

Unter dem Gesamtwiderstand des externen Stromkreises ist dabei ein solcher Widerstand zu verstehen, der bei gegebener Stromkreisspannung beide parallel geschalteten Widerstände ersetzen könnte, ohne dass sich der Strom vor der Verzweigung ändert. Dieser Widerstand wird als Ersatzwiderstand bezeichnet.

Kehren wir zu der in Abb. gezeigten Schaltung zurück. 3 und sehen Sie, wie hoch der äquivalente Widerstand zweier parallel geschalteter Widerstände sein wird. Wenn wir das Ohmsche Gesetz auf diesen Stromkreis anwenden, können wir schreiben: I = U / R, wobei I der Strom im externen Stromkreis (bis zum Verzweigungspunkt), U die Spannung des externen Stromkreises und R der Widerstand des externen Stromkreises ist Schaltung, das heißt der Ersatzwiderstand.

Ebenso gilt für jeden Zweig I1 = U1 / R1, I2 = U2 / R2, wobei I1 und I2 – Ströme in den Zweigen; U1 und U2 ist die Spannung in den Zweigen; R1 und R2 – Zweigwiderstand.

Nach dem Zweigstromkreisgesetz gilt: I = I1 + I2

Wenn wir die Werte der Ströme ersetzen, erhalten wir U / R = U1 / R1 + U2 / R2

Da bei Parallelschaltung U = U1 = U2 ist, können wir U / R = U / R1 + U / R2 schreiben

Wenn wir U auf der rechten Seite der Gleichung außerhalb der Klammern ausführen, erhalten wir U / R = U (1 / R1 + 1 / R2).

Wenn wir nun beide Seiten der Gleichheit durch U dividieren, erhalten wir schließlich 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2

Wenn man bedenkt, dass die Leitfähigkeit der Kehrwert des Widerstands ist, können wir sagen, dass in der resultierenden Formel 1 / R die Leitfähigkeit des externen Stromkreises ist; 1 / R1 die Leitfähigkeit des ersten Zweigs; 1 / R2- die Leitfähigkeit des zweiten Zweigs.

Basierend auf dieser Formel schließen wir: Bei Parallelschaltung ist der Leitwert des externen Stromkreises gleich der Summe der Leitwerte der einzelnen Zweige.

Um den Ersatzwiderstand der parallel geschalteten Widerstände zu bestimmen, ist es daher erforderlich, die Leitfähigkeit des Stromkreises zu bestimmen und den dazu entgegengesetzten Wert zu ermitteln.

Aus der Formel folgt auch, dass der Leitwert des Stromkreises größer ist als der Leitwert jedes Zweigs, was bedeutet, dass der Ersatzwiderstand des externen Stromkreises kleiner ist als der kleinste der parallel geschalteten Widerstände.

Betrachtet man den Fall der Parallelschaltung von Widerständen, haben wir die einfachste Schaltung bestehend aus zwei Zweigen gewählt. In der Praxis kann es jedoch Fälle geben, in denen die Schaltung aus drei oder mehr parallelen Zweigen besteht. Was sollen wir in diesen Fällen tun?

Es stellt sich heraus, dass alle erhaltenen Verbindungen für einen Stromkreis gültig bleiben, der aus beliebig vielen parallel geschalteten Widerständen besteht.

Um dies zu überprüfen, betrachten Sie das folgende Beispiel.

Nehmen wir drei Widerstände R1 = 10 Ohm, R2 = 20 Ohm und R3 = 60 Ohm und schalten sie parallel. Bestimmen Sie den Ersatzwiderstand des Stromkreises (Abb. 5).

Reis. 5. Schaltung mit drei parallel geschalteten Widerständen

Wenn wir diese Schaltungsformel 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2 anwenden, können wir schreiben: 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 und wenn wir die bekannten Werte ersetzen, erhalten wir 1 / R= 1 / 10 + 1 / 20 + 1 / 60

Wir addieren diese Brüche: 1 /R = 10/60 = 1/6, das heißt, die Leitfähigkeit des Stromkreises beträgt 1 / R = 1/6. Daher beträgt der Ersatzwiderstand R = 6 Ohm.

Daher ist der Ersatzwiderstand kleiner als der kleinste der im Stromkreis parallel geschalteten Widerstände, der kleinere Widerstand R1.

Schauen wir nun, ob dieser Widerstand wirklich gleichwertig ist, also so, dass er die parallel geschalteten Widerstände von 10, 20 und 60 Ohm ersetzen kann, ohne dass sich die Stromstärke vor der Verzweigung des Stromkreises ändert.

Nehmen Sie an, dass die Spannung des externen Stromkreises und damit die Spannung in den Widerständen R1, R2, R3 12 V beträgt. Dann beträgt die Stärke der Ströme in den Zweigen: I1 = U / R1 = 12/10 = 1,2 A. Az2 = U / R2 = 12 / 20 = 1,6 A. Az3 = U / R1 = 12 / 60 = 0,2 A

Den Gesamtstrom im Stromkreis erhalten wir mit der Formel I = I1 + I2 + I3 =1,2 + 0,6 + 0,2 = 2 A.

Überprüfen wir anhand der Formel des Ohmschen Gesetzes, ob im Stromkreis ein Strom von 2 A entsteht, wenn anstelle von drei bekannten Parallelwiderständen ein Ersatzwiderstand von 6 Ohm enthalten ist.

I = U/R= 12 / 6 = 2 A

Wie Sie sehen können, ist der von uns gefundene Widerstand R = 6 Ohm tatsächlich äquivalent für diese Schaltung.

Dies lässt sich an Messgeräten überprüfen, indem man einen Stromkreis mit den von uns genommenen Widerständen aufbaut, den Strom im äußeren Stromkreis (vor der Verzweigung) misst, dann die parallel geschalteten Widerstände durch einen einzelnen 6-Ohm-Widerstand ersetzt und den Strom erneut misst.Die Messwerte des Amperemeters sind in beiden Fällen ungefähr gleich.

In der Praxis kann es auch zu Parallelschaltungen kommen, bei denen sich der Ersatzwiderstand einfacher berechnen lässt, d. h. ohne vorherige Ermittlung der Leitwerte lässt sich der Widerstand sofort ermitteln.

Wenn beispielsweise zwei Widerstände R1 und R2 parallel geschaltet sind, kann die Formel 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2 wie folgt umgewandelt werden: 1 / R = (R2 + R1) / R1 R2 und durch Lösen der Gleichheit in Bezug auf R, wir erhalten R = R1 NS R2 / (R1 + R2), d.h. Wenn zwei Widerstände parallel geschaltet sind, ist der Ersatzwiderstand des Stromkreises gleich dem Produkt der parallel geschalteten Widerstände dividiert durch ihre Summe.