Grundlagen und Gesetze der Algebra der Logik

Irischer Mathematiker der Mitte des 19. Jahrhunderts George Bull entwickelte die Algebra der Logik („Studie der Gesetze des Denkens“). Daher wird auch die Algebra der Logik genannt boolsche Algebra.

Durch die Angabe von Buchstabenbezeichnungen, den Ausdruck der Operationen logischer Transformationen in Aktionssymbolen und die Verwendung der für diese Aktionen festgelegten Regeln und Axiome ermöglicht die Algebra der Logik, den Denkprozess bei der Lösung eines aussagelogischen Problems vollständig in Algorithmen zu beschreiben , das heißt, ein mathematisch geschriebenes Programm zu haben, das dieses Problem löst.

Um die Wahrheit oder Falschheit von Aussagen zu bezeichnen (also um Werte zur Bewertung von Aussagen einzuführen), verwendet die Algebra der Logik ein binäres System, was in diesem Fall praktisch ist. Ist die Aussage wahr, nimmt sie den Wert 1 an, ist sie falsch, nimmt sie den Wert 0 an. Im Gegensatz zu Binärzahlen drücken logische Einsen und Nullen keine Größe, sondern einen Zustand aus.

In elektrischen Schaltkreisen, die mit der Booleschen Algebra beschrieben werden, wobei 1 das Vorhandensein von Spannung und 0 das Fehlen von Spannung ist, handelt es sich also um die Zufuhr von Spannungen aus mehreren Quellen zu einem Knoten des Schaltkreises (d. h. das Eintreffen mehrerer logischer Einheiten davon). wird auch als logische Einheit angezeigt, die nicht die Gesamtspannung am Knoten anzeigt, sondern nur deren Vorhandensein.

Bei der Beschreibung der Ein- und Ausgangssignale der Logikschaltungen werden Variablen verwendet, die nur die Werte logisch 0 oder 1 annehmen. Die Abhängigkeit der Ausgangssignale vom Eingang wird bestimmt logische Operation (Funktion)… Bezeichnen wir die Eingabevariablen mit X1 und X2 und die durch eine logische Operation an ihnen erhaltene Ausgabe mit y.

Denk darüber nach drei grundlegende elementare logische Operationen, mit deren Hilfe immer komplexere beschrieben werden können.

1. ODER-Verknüpfung – logische Addition:

Wenn alle möglichen Werte der Variablen gegeben sind, kann man die ODER-Verknüpfung als die ausreichende Menge von mindestens einer Einheit in der Eingabe definieren, um eine in der Ausgabe zu erzeugen. Der Name der Operation wird durch die semantische Bedeutung der Vereinigung OR in der Phrase erklärt: „Wenn OR eine Eingabe ist ODER die zweite eine ist, dann ist die Ausgabe eins.“

2. Operation AND – logische Multiplikation:

Unter Berücksichtigung des gesamten Wertesatzes der Variablen wird die UND-Operation als die Notwendigkeit definiert, alle Einsen an den Eingaben abzugleichen, um eine Eins an der Ausgabe zu erhalten: „Wenn UND eine Eingabe ist und die zweite Einsen, dann.“ Die Ausgabe ist eins. «

3. Operation NOT – logische Negation oder Inversion. Dies wird durch einen Balken über der Variablen angezeigt.

Bei der Umkehrung wird der Wert der Variablen umgekehrt.

Grundgesetze der logischen Algebra:

1. Das Gesetz der Nullmenge: das Produkt einer beliebigen Anzahl von Variablen verschwindet, wenn eine der Variablen Null ist, unabhängig von den Werten anderer Variablen:

2. Das Gesetz der Universalmenge — Die Summe einer beliebigen Anzahl von Variablen wird zu Eins, wenn mindestens eine der Variablen den Wert Eins hat, unabhängig von anderen Variablen:

3. Das Gesetz der Wiederholung — Wiederholte Variablen im Ausdruck können weggelassen werden (mit anderen Worten, es gibt keine Potenzierung und Multiplikation mit einem numerischen Koeffizienten in der Booleschen Algebra):

4. Das Gesetz der doppelten Inversion — Die zweimal durchgeführte Invertierung ist eine leere Operation:

5. Gesetz der Komplementarität — Das Produkt jeder Variablen und ihrer Umkehrung ist Null:

6. Die Summe jeder Variablen und ihres Kehrwerts ist eins:

7. Schutzgesetze — Das Ergebnis der Durchführung von Multiplikations- und Additionsoperationen hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der die Variablen folgen:

8. Kombinierte Gesetze — Bei Multiplikations- und Additionsoperationen können Variablen in beliebiger Reihenfolge gruppiert werden:

9. Vertriebsgesetze — Es ist zulässig, den Gesamtkoeffizienten außerhalb der Klammern anzugeben:

10. Absorptionsgesetze – Möglichkeiten zur Vereinfachung von Ausdrücken mit einer Variablen in allen Faktoren und Termen aufzeigen:

11. De Morgans Gesetze — Die Inversion des Produkts ist die Summe der Inversionen der Variablen:

Die Umkehrung der Summe ist das Produkt der Umkehrungen der Variablen: