Zahlensysteme
Ein Zahlensystem ist eine Reihe von Regeln zur Darstellung von Zahlen mit unterschiedlichen Zahlenzeichen. Zahlensysteme werden in zwei Typen eingeteilt: nicht-positionelle und positionelle.
In Positionszahlensystemen hängt der Wert jeder Ziffer nicht von der Position ab, die sie einnimmt, also davon, welchen Platz sie in der Ziffernmenge einnimmt. Im römischen Zahlensystem gibt es nur sieben Ziffern: eins (I), fünf (V), zehn (X), fünfzig (L), einhundert (C), fünfhundert (D), eintausend (M). Mit diesen Zahlen (Symbolen) werden die restlichen Zahlen durch Addition und Subtraktion geschrieben. Beispielsweise ist IV die Notation der Zahl 4 (V – I), VI ist die Zahl 6 (V + I) und so weiter. Die Zahl 666 wird im römischen System wie folgt geschrieben: DCLXVI.
Diese Notation ist weniger praktisch als die, die wir derzeit verwenden. Hier wird sechs mit einem Symbol (VI), sechs Zehner mit einem anderen (LX), sechshundertdrei (DC) geschrieben. Es ist sehr schwierig, arithmetische Operationen mit Zahlen durchzuführen, die im römischen Zahlensystem geschrieben sind. Ein allgemeiner Nachteil nichtpositioneller Systeme ist außerdem die Komplexität der Darstellung ausreichend großer Zahlen in ihnen, was zu einer äußerst umständlichen Notation führt.
Betrachten Sie nun dieselbe Zahl 666 im Positionszahlensystem. Darin bedeutet ein einzelnes Zeichen 6 die Zahl der Einsen, wenn es an der letzten Stelle steht, die Zahl der Zehner, wenn es an der vorletzten Stelle steht, und die Zahl der Hunderter, wenn es an der dritten Stelle vom Ende steht. Dieses Prinzip des Schreibens von Zahlen wird als positionell (lokal) bezeichnet. Bei einer solchen Aufzeichnung erhält jede Ziffer einen numerischen Wert, der nicht nur von ihrem Stil abhängt, sondern auch davon, wo sie beim Schreiben der Zahl steht.
Im Positionszahlensystem kann jede Zahl, die als A = +a1a2a3 … ann-1an dargestellt wird, als Summe dargestellt werden
Dabei ist n die endliche Anzahl von Ziffern im Bild einer Zahl, ii die Zahl i-go Ziffer, d die Basis des Zahlensystems, i die Ordnungszahl der Kategorie, dm-i das „Gewicht“ der i-ro-Kategorie . Ziffern ai müssen die Ungleichung 0 <= a <= (d — 1) erfüllen.
Für die Dezimalschreibweise gilt d = 10 und ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Da Zahlen, die aus Einsen und Nullen bestehen, zusammen als Dezimal- oder Binärzahlen wahrgenommen werden können, wird üblicherweise die Basis des Zahlensystems angegeben, zum Beispiel (1100)2-binär, (1100)10-dezimal.
In digitalen Computern werden häufig andere Systeme als das Dezimalsystem verwendet: binär, oktal und hexadezimal.
Binäres System
Für dieses System ist d = 2 und hier sind nur zwei Ziffern erlaubt, also ai = 0 oder 1.
Jede im Binärsystem ausgedrückte Zahl wird als Summe des Produkts der Basispotenz zwei mal der Binärziffer des gegebenen Bits dargestellt. Beispielsweise kann die Zahl 101,01 so geschrieben werden: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, was der Zahl im Dezimalsystem entspricht: 4 + 1 + 0,25 = 5,25 .
In den meisten modernen digitalen Computern wird das binäre Zahlensystem verwendet, um Zahlen in einer Maschine darzustellen und arithmetische Operationen darauf durchzuführen.
Das binäre Zahlensystem ermöglicht im Vergleich zum dezimalen System eine Vereinfachung der Schaltkreise und Schaltkreise des Rechengeräts und des Speichergeräts sowie eine Erhöhung der Zuverlässigkeit des Computers. Die Ziffer jedes Bits einer Binärzahl wird durch die „Ein/Aus“-Zustände von Elementen wie Transistoren und Dioden dargestellt, die im „Ein/Aus“-Zustand zuverlässig arbeiten. Zu den Nachteilen des Binärsystems gehört die Notwendigkeit, die ursprünglichen digitalen Daten nach einem speziellen Programm in das binäre Zahlensystem und die Ergebnisse der Entscheidung in Dezimalzahlen zu übersetzen.
Oktales Zahlensystem
Dieses System hat die Basis d == 8. Zahlen werden zur Darstellung von Zahlen verwendet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Das Oktalzahlensystem wird im Computer als Hilfsmittel bei der Vorbereitung von Problemen zur Lösung (im Programmierprozess), bei der Überprüfung des Betriebs einer Maschine und beim Debuggen eines Programms verwendet. Dieses System bietet eine kürzere Darstellung der Zahl als das Binärsystem. Das oktale Zahlensystem ermöglicht einen einfachen Wechsel zum Binärsystem.
Hexadezimales Zahlensystem
Dieses System hat die Basis d = 16. 16 Zeichen werden zur Darstellung von Zahlen verwendet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F und die Die Zeichen A … F stellen die Dezimalzahlen 10, 11, 12, 13, 14 und 15 dar. Die Hexadezimalzahl (1D4F) 18 entspricht der Dezimalzahl 7503, weil (1D4F)18 = 1 x 163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10
Durch die Hexadezimalschreibweise können Binärzahlen kompakter geschrieben werden als durch die Oktalschreibweise. Es findet Anwendung in Eingabe- und Ausgabegeräten und Anzeigegeräten für die Reihenfolge der Nummern einiger Computer.
Binär-dezimales Zahlensystem
Die Darstellung von Zahlen im Binär-Dezimalsystem ist wie folgt. Als Grundlage dient die Dezimalschreibweise der Zahl, und dann wird jede ihrer Ziffern (von 0 bis 9) in Form einer vierstelligen Binärzahl namens Tetrade geschrieben, d. h. zur Darstellung wird kein einziges Vorzeichen verwendet jede Ziffer des Dezimalsystems, aber vier.
Beispielsweise würde die Dezimalzahl 647,59 BCD 0110 0100 0111, 0101 1001 entsprechen.
Das binär-dezimale Zahlensystem dient als Zwischenzahlensystem und zur Kodierung von Ein- und Ausgangszahlen.
Regeln für die Übertragung eines Zahlensystems auf ein anderes
Der Informationsaustausch zwischen Computergeräten erfolgt hauptsächlich über Zahlen, die im Binärzahlensystem dargestellt werden. Allerdings werden dem Benutzer Informationen in Zahlen im Dezimalsystem und die Befehlsadressierung im Oktalsystem angezeigt. Daher besteht die Notwendigkeit, bei der Arbeit mit einem Computer Zahlen von einem System auf ein anderes zu übertragen. Verwenden Sie dazu die folgende allgemeine Regel.
Um eine ganze Zahl von einem beliebigen Zahlensystem in ein anderes umzuwandeln, ist es notwendig, diese Zahl sukzessive durch die Basis des neuen Systems zu dividieren, bis der Quotient nicht kleiner als der Divisor ist. Die Zahl im neuen System muss in Form von Divisionsresten geschrieben werden, beginnend mit der letzten, also von rechts nach links.
Lassen Sie uns zum Beispiel die Dezimalzahl 1987 in eine Binärzahl umwandeln:
Die Dezimalzahl 1987 im Binärformat ist 11111000011, d.h. (1987)10 = (11111000011)2
Beim Wechsel von einem beliebigen System zum Dezimalsystem wird die Zahl als Summe der Potenzen der Basis mit den entsprechenden Koeffizienten dargestellt und anschließend der Wert der Summe berechnet.
Lassen Sie uns zum Beispiel die Oktalzahl 123 in eine Dezimalzahl umwandeln: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, d. h. (123)8 = (83)10
Um den Bruchteil einer Zahl von einem System in ein anderes zu übertragen, ist es notwendig, diesen Bruch und die resultierenden Bruchteile des Produkts sukzessive auf Basis des neuen Zahlensystems zu multiplizieren. Der Bruchteil einer Zahl im neuen System wird in Form ganzer Teile der resultierenden Produkte gebildet, beginnend mit dem ersten. Der Multiplikationsprozess wird fortgesetzt, bis eine Zahl mit einer bestimmten Genauigkeit berechnet wird.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Dezimalbruch 0,65625 in das binäre Zahlensystem umwandeln:
Da der Bruchteil des fünften Produkts nur aus Nullen besteht, ist eine weitere Multiplikation nicht erforderlich. Dies bedeutet, dass die angegebene Dezimalzahl fehlerfrei in eine Binärzahl umgewandelt wird, d. h. (0,65625)10 = (0,10101)2.
Die Konvertierung von Oktal- und Hexadezimalzahlen in Binärzahlen und umgekehrt ist nicht schwierig. Dies liegt daran, dass ihre Basen (d — 8 und d — 16) ganzen Zahlen von zwei entsprechen (23 = 8 und 24 = 16).
Um Oktal- oder Hexadezimalzahlen in Binärzahlen umzuwandeln, reicht es aus, jede ihrer Zahlen durch eine drei- bzw. vierstellige Binärzahl zu ersetzen.
Übersetzen wir zum Beispiel die Oktalzahl (571)8 und die Hexadezimalzahl (179)16 in das binäre Zahlensystem.
In beiden Fällen erhalten wir das gleiche Ergebnis, d. h. (571)8 = (179)16 = (101111001)2
Um eine Zahl von binär-dezimal in eine dezimalzahl umzuwandeln, müssen Sie jede Tetrade der binär-dezimal dargestellten Zahl durch eine dezimal dargestellte Ziffer ersetzen.
Schreiben wir zum Beispiel die Zahl (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 in Dezimalschreibweise, d. h. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218.625)